Соц сети

  • Без заголовка 988

  • У дел

  • Братолюбие



  •  

    Фрактальность натуральных чисел

     


     

       Очень моден нынче термин – фрактал, фрактальность, в смысл которого, как правило, вкладывается принцип самоподобия, т.е. это когда часть\части некого объекта подобна\ы самому объекту. Подробнее (кому это интересно) можете познакомится с материалами в сети Интернет. Одно из не строгих определений фрактала, звучит следующим образом:

    Фракталалом называется структура, состоящая из частей, которые в каком-то смысле подобны целому.

    Я хочу рассказать о вещах, которые в конце 70 годов мне пришли в голову, и в дальнейшем достаточно основательно изменили мои взгляды и понимание, НА - что такое число, и как следствие, что ЖЪ из себя представляет окружающее пространство. Расскажу, и покажу на примерах как иначе можно интерпретировать натуральные числа? Что они из себя представляют если на них взглянуть в «плоскости самоподобных объектов» - фракталов натуральных чисел.

    Человек, в своей жизни, количественно мерит многое. Например, длину пройденного или предстоящего пути, площадь собственного дачного участка, или чужие гектары полей, объем выпитой жидкости или кубометры сваленного мусора. В результате измерений\вычислений итогом служит как правило число. Хотя бывает и «много» или «мало», т.е. результат не в виде числа. Рассмотрим отрезок прямой линии состоящий из 5 одинаковых отрезков.


    Если красный отрезок, являющийся частью заданного отрезка увеличить в пять раз или пять раз сложить его с самим собой вдоль прямой, то в результате получится заданный отрезок. Будем считать, что красный отрезок подобен заданному отрезку с коэффициентом подобия равным 5. Исходный отрезок самомподобен, т.е. состоит из частей подобных исходному отрезку. Это соответствует следующей записи в математическом виде:

    N = 5*a

    где N и a – числа.

    Пусть, согласно некоторых соображений у нас получилось, что N = 15.

    Если рассматривать в общем случае, а не конкретно данный пример с отрезком, то не важно, о чём оно это число говорит. Просто 15 и всё. Посмотрим можно ли к этому числу применить принцип самоподобия. Если некий целостный объект, состоит из частей, которые ему подобны, то он умещается в этот объект полностью несколько раз. Как например квадратик со стороной равное 1 умещается в квадратик со стороной равной 2 - 4 раза. Количество раз, которое часть умещается в целом, число строго натуральное. Число 15 имеет два сомножителя 3 и 5. При произведении которых, выполняется равенство:

    15 = 3*5

    Нам из школы известно, что неважно как записать, 3 умножить на 5 или 5 умножить на 3, результат один и тот же, т.е. справедливо равенство:

    3*5=5*3

    В аксиоматическом поле, данная запись справедлива на основании закона коммутативности.

    Если число 15 имеет 5 одинаковых составных частей, то характеристикой его части будет число 3. Если число 15 имеет 3 одинаковых составных части, то характеристикой его части в этом случае будет число 5. Такое рассуждение приводит к следующим выводам:

    1.Если 15 состоит из 5 частей то 3 тождественно 15

    2.Если 15 состоит из 3 частей то 5 тождественно 15

    В данном случае закон коммутативности не совсем очевиден, хотя результат одинаковый, так как смысл вкладываемый в сомножители разный. Если позиционировать данную запись, допустим, первым пишется число раз, а вторым характеризующие число исходного подобия, то закон коммутативности не выполняется, т.е. 3*5 не равно 5*3.

    Рассмотрим 1 вывод, так как в нашем примере с отрезком исходное подобие 3 укладывается в исходный объект 5 раз. Зададимся следующим вопросом: Если часть подобна целому, то может часть так же состоит из подобных частей? Допустим да. Тогда исходным объектом уже служит, число 3, а исходным подобием некое число a(1), тогда будет справедлива следующая запись:

    3 = 5*a(1)

    где а(1) есть числовая характеристика исходного подобия , из которой состоит объект характеризующийся числом 3. Коэффициент подобия остаётся прежним, тем самым сохраняется структурное формирование целого.

    Примечание:

    Большое в малом и малое в большом! или Большое подобно малому, так же как и малое подобно большому!.

    Продолжим процесс далее:

    а(1) = 5*а(2)

    а(2 )= 5*а(3)

    В общем виде это будет выглядеть следующим образом:

    а(n) = 5*a(n+1)

    a(n+1) = 5*a(n+2)

    Если в этих равенствах сделать замену a(n+1) на его значение, определяемое на последующем шаге, то получим следующее равенство:

    3=5^n*a(n)

    Заменим характеризующее число исходного подобия 3, на отношение N/5. Получим равенство, в котором исключены характеристические числа исходного подобия.

    N/5 = 5^n*a(n) или N = 5^(n+1)*a(n).

    В этом равенстве n+1 – обозначим, через r (n + 1 = r или n = r - 1). Это натуральное число, говорящее нам о том сколько раз часть исходный самоподобный объект 15 разбивался на подобные части. Из последнего равенства можно определить характеризующее число a(r-1) как:

    a(r-1) = N/5^r.

    Для первых трёх значений r = {1, 2, 3} будут числа:

    a(0) = 3, a(1) = 15/25 = 3/5, a(2) = 15/125 = 3/25

    В качестве результата получили рациональные дроби, для которых справедлива запись:

    3/25 -> 3/5 -> 3 -> 15

    Т.е. все эти числа тождественны, если они укладывались на каждом этапе формируя самоподобные объекты с коэффициентом подобия равным 5.

    Представим такой мир, в котором характеризующие числа неких «элементарных» частей всегда равны 1. А далее они неделимы! Допустим единичный отрезок, единичная площадь, единичный электрический заряд. Из этих единичных объектов по определённым правилам строятся более сложные, самоподобные (фрактальные) объекты. В рассматриваем мною, случае это означает, что a(n-1) = 1. Т.е. существует такой этап разбиения самоподобного объекта, при котором мы дошли до единичного размера, который далее неделим. Самоподобие закончилось! Нам необходимо найти r. Определяется оно в нашем примере из равенства:

    1 = N/5^r, как r = ln(N)/ln(5) =1.682606195 , где ln – натуральный логарифм.

    Что же это получается в результате? Вроде r должно быть число натуральное, а получилось не натуральное. Как понимать не целое количество этапов разбиения самоподобного объекта на подобные части? На этот вопрос я нашёл ответ, но об этом расскажу как-нибудь попозже. В классической теории фракталов, r – определяется как размерность меры.

    Если рассмотреть вывод 2, то r будет равно:

    1 = 15/3^r, как r = ln(15)/ln(3) = 2.46497352…

    В общем случае, если задано некое натуральное число N = k*Y, где k - коэффициент подобия, то справедливо для классического определения в теории фракталов «размерности меры» следующее равенство:

    r = ln(N)/ln(k)

    Для простых чисел (3, 5, 7, 11 и т.д.) n = 0, т.е. простое число как объект - так же прост, его исходное подобие равно 1.

    В качестве ещё одного примера приведу число 231, которое в качестве натуральных сомножителей имеет числа 3, 7, 11.

    В этом случае в качестве коэффициентов подобия могут служить уже не два числа, как в верхнем примере, а 6 чисел:

    k1 = 3

    Y1 = 77 – подобие так же является самоподобным объектом

    k2 = 7

    Y2 = 33 – подобие так же является самоподобным объектом

    k3 = 11

    Y3 = 21 – подобие так же является самоподобным объектом

    k4 = 3*7 = 21, Y4 = 11

    k5 = 3*11 = 33, Y5 = 7

    k6 = 7*11 = 77, Y6 = 3

    Для этих вариантов «размерность меры» будут следующие:

    r1 = ln(231)/ln(3) = 4.953902087

    r2 = ln(231)/ln(7) = 2.79684944

    r3 = ln(231)/ln(11) = 2.269664473

    r4 = ln(231)/ln(21) = 1.787609657

    r5 = ln(231)/ln(33) = 1.556529656

    r6 = ln(231)/ln(77) = 1.25291471

    Продолжение следует



    Серия сообщений "Математика":
    Часть 1 - Число Пи
    Часть 2 - Греко-латинский квадрат
    ...
    Часть 4 - Системы исчисления
    Часть 5 - Семь раз отмерь – один раз отрежь!
    Часть 6 - Фрактальность натуральных чисел

  • Без заголовка 988

  • У дел

  • Братолюбие



  • Последние новости


    Типология МАП и профилактика заболеваний с помощью пиявок

    Этот раздел книги можно было бы назвать по другому: путь к оздоровлению отношений с близкими вам людьми с помощью медицинской пиявки. Речь пойдет о психологическом, психическом и соматическом здоровье тех, кто вам дорог. Помните эпиграф к «Войне и миру»? Конечно, помните: «Все счастливые ...
    Читать далее »

    Немного о науке лечения пиявками. Интервью с Г. И. Никоновым. Часть 2

    – Тогда в чем же секрет эффективности лечения пиявками? – Секрет эффективности медицинской пиявки заключается в том, что она воздействует на организм сложным, многофункциональным путем. Можно выделить три основных фактора, которые комплексно воздействуют на организм. Первый: возбужде...
    Читать далее »

    Существуют ли пиявки, которых нужно бояться?

    Любознательным читателям может показаться странной такая постановка вопроса: зачем не посвященному в тайны пиявки человеку подробно знакомиться со всем многовековым опытом гирудотерапии? Зачем ему знать, что есть пиявки, которые не присасываются? Это необходимо, прежде всего, для того, чтобы не ...
    Читать далее »

    Медицинская пиявка и терапия

    Здесь информацией с нами поделится заслуженный врач РФ, гирудотерапевт, сотрудник медицинского центра «Квадро» Вячеслав Гаврилович Кудинов. Более двухсот пациентов ежегодно лечится у него с помощью медицинской пиявки. Его первое знакомство с этим удивительным природным лекарем состоялось...
    Читать далее »

    Секреты разведения медицинских пиявок в искусственных условиях

    Как вы уже знаете, любознательные читатели, пиявками, которые разведены в искусственно созданных условиях, лечились не всегда. Просто потому, что сама технология разведения пиявок в таких условиях, популярная сегодня, была разработана всего лишь полвека назад. Авторы этого метода считали своей ос...
    Читать далее »

    Лечение пиявками сердечно сосудистых заболеваний

    Об этом нам рассказывает доктор медицинских наук, профессор, кардиохирург госпиталя внутренних войск МВД Российской Федерации Власов Геннадий Павлович. Первоначально Геннадий Павлович использовал для лечения своих пациентов сублимированную, то есть высушенную пиявку. Препарат назывался «Пи...
    Читать далее »

    Перечень заболеваний, которые можно лечить с помощью медицинской пиявки только у специалистов гирудотерапевтов

    Трудно перечислить абсолютно все болезни, которые сегодня традиционно лечатся профессиональными гирудотерапевтами. Сами врачи порой удивляются, открывая все новые и новые возможности эффективного пиявочного лечения. Список заболеваний, с которыми чаще всего сегодня приходят пациенты в специал...
    Читать далее »